Persamaan Differensial

MAKALAH

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Di susun oleh

1.                  MOHAMMAD READI

2.                  ROKIB

3.                  HAIRUNNISAK

4.                  UMMUL MAKHTUM

5.                  ST. AISYAH

UNIVERSITAS ISLAM MADURA

FAKULTAS MIPA JURUSAN MATEMATIKA

TAHUN AKADEMIK 2010-2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami ucapkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini membahas tentang  persamaan diferensial

Dalam penulisan makalah ini kami telah banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak, baik dari guru-guru maupun dari teman-teman. Oleh karena itu melalui kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih kepada FEBRI HANDAYANI. SPd yang telah memberikan pengarahan dalam pembuatan makalah ini dan pihak-pihak yang telah membantu kami baik secara materil maupun spiritual.

Kami sadar makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi isi, bahasa maupun penulisannya. Oleh karena itu kami mengharapkan kritikan, masukan, dan saran yang dapat membangun demi penyempurnaan penulisan makalah-makalah berikutnya. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada pembaca terutama bagi penulis sendiri sebagai salah satu upaya perbaikan dalam proses pembelajaran yang berdampak pada peningkatan mutu pendidikan.

Daftar isi

Halaman judul..................................................................................................

Kata Pengantar................................................................................................. i

Daftar Isi.......................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN............................................................................... 1

A. Latar Belakang................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah.............................................................................. 2

C. Tujuan................................................................................................. 2

BAB II PEMBAHASAN................................................................................ 3

A. Pengertian Persamaan Differensial.................................................... 3

B. Persamaan Differensial Biasa............................................................. 4

C. Persamaan Differensial Linier dan tak Linier..................................... 5

D. Solusi Persamaan Differensial............................................................ 6

E. Persamaan Differensial Linier Orde Satu........................................... 8

F. Penerapan Persamaan Differensial Orde Satu.................................... 12

BAB III PENUTUP......................................................................................... 14

A. Kesimpulan........................................................................................... 14

B. Saran..................................................................................................... 15

Daftar Pustaka.................................................................................................. 16

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan differensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan differensial.

Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan differensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan differensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan differensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan differensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.

Baik persamaan differensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan differensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

Melihat seberapa besar penting  persamaan differensial dari berbagai macam  ilmu, baik dalam bidang SAINS maupun teknologi.  Maka kami menulis makalah yang berjudul persamaan differensial linier orde satu. Tidak hanya itu makalah ini dibuat sebagai salah satu kelengkapan mengikuti mata kuliah persamaan differensial biasa yang telah ditugaskan oleh dosen pengasuh mata kuliah tersebut.

B.      RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah

1.    Pengertian Persamaan Differensial

2.    Persamaan Defferensial Biasa

3.    Persamaan Differensial Linier dan Tak Linier

4.    Solusi Persamaan Defferensial

5.    Persamaan Differensial Biasa Orde Satu

6.    Penerapan Persamaan Differensial Biasa Orde 1

C.    TUJUAN PENULISAN MAKALAH

Penulisan makalah ini bertujuan untuk lebih memahami tentang “Persamaan Differensial bagi para pelajar, khususnya bagi mahasiswa program studi sins matematika. Diharapkan dengan makalah ini dapat menambah wawasan para mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah persamaan differensial.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      PENGERTIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu Tehnik, Fisika, Biologi, Kimia, Sosial dan lain-lain),  yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya. Suatu persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya dinamakan persamaan differensial. Jika mengandung turunan parsial dinamakan persamaa differensial parsial. Selain persamaan parsial, dikenal persamaan deferensial yang lain yang dinamakan persamaan deferensial biasa.

Beberapa metode penyelesaian persamaan differensial biasa yang sering muncul dalam ilmu-ilmu terapan contoh sebagai berikut :

(i)        Hukum II Nowton dalam bentuk vector adalah  . jika percepatan  ditulis sebagai  ,  dengan  adalah kecepatan, atau di tulis sebagai  , dengan    adalah perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

……………………………………………………(1.1)

Jadi masalah mekanika di atas yang digunakan untuk menentukan gerak benda (misalnya, electron, mobil, atau satelit) karena pengaruh gaya, mengandung persamaan differensial’

(ii)      Laju pelabuhan panas  yang berkurang melalui jendela atau dari pipa air panas sebanding dengan luas permukaan A dan sebanding dengan perubahan temperature T terhadap jarak x  dapat di tulis:

 …………………………………………………………….(1.2)

Dengan k  adalah koduktifitas panas yang bergantung pada material atau bahan yang dilalui panas. Persamaan (1.2) diatas mengandung dua turunan yang berbeda, yaitu  dan penyelesaiannya adalah menentukan fungsi T sebagai fungsi x atau  sebagai fungsi T

Contoh :

Manakah dari persamaan-persamaan berikut yang termasuk persamaan differensial biasa ?

a.                                c.     

b.     

Jawaban :

a.       Bukan persamaan deferensial biasa karena tidak mengandung turunan fungsi

b.      PDB, dengan perubah bebas x dengan peubah tak bebas y

B.       PERSAMAAN  DIFFERENSIAL BIASA

Tingkat atau orde suatu persamaan differensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut, secara umum, persamaan riferensial biasa orde n mempunyai bentuk

Persamaan (1.4), menyatakan hubungan antara peubah bebas x, fungsi u dan turunan u’ , u” , u”’ . untuk selanjutnya akan digunakan fariabel y sebagai pengganti u(x), dan y’, y”,y”’ ………yⁿ sebagai pengganti u’(x), u”(x),u”’(x)……….uⁿ(x) sehingga persamaan (1,4) dapat di tulis dalam bentuk :

Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial berikut :

a.       .y’+xy²=1, dimana y’=

b.      .xy’+y=e^x

c.       .=-g

d.      .L=+RI=V

Persamaan a..b.c dan d di atas adalah persamaan diferensial orde satu karena persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertema sebagai turunan tertinggi

e.       M=adalah persamaan diferensial orde dua karena persamaan tersebut mengandung turunan kedua sebagai turunan tertinggi.

Derajat atau pangkat suatu persamaan diferensial yang berbentuk polinum dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannya adalah derajat atau pangkat tertinggi polinum tersebut. Sebagai gambaran perhatikan contoh berikut:

a.       y’’’+2xy(y’)³ =0 merupakan PD berderajah empat, kerena mengandung y(y’)³

b.      y’’+5y+6xy=sin x merupakan persamaan diferensial ber derajat Satu

c.       y’’=merupakan persamaan diferensial ber derajat dua perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk y.y”=x²+1

d.      (3x-2y)y’=1-x-x²,merupakan persamaan diferensial berderajat dua

e.       (3x+5y)dy=(2x+2)dx Merupakan persamaan diferensial berderajat dua

C.      PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER DAN TAK LINIER

Suatu persamaan Differensial (dengan x adalah peubah bebas dan y adalah peubah tak bebas) adalah salah satu bentuk dari persamaan :

 a₀y + a₁y’ + a₂y” + a_nyⁿ =b.............................................................................(1.6)

Sebagai contoh , perhatikan persamaan diferensial berikut :

a.       y’ + xy² = 1, (tidak linier, kerena terdapat pangkat 2 dari y)

b.      y’ = cot y, (tidak linier, karena terdapat fungsi transenden)

c.       yy’ = 1,(tidak linier, karena terdapat perkalian y dan y)

d.      (y’)² = xy, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 pada y’)

Dengan demikian, persamaan differensial biasa disebut linier, jika memenuhi kriteria sebagai berikut :

(i)                 Tidak tedapat fungsi transenden dalam peubah tak bebas

(ii)               Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas dengan turunannya

(iii)             Peubah tak bebas dan turunannya paling tinggi berpangkat satu

(iv)             A_n(x) adalah fungsi kontinu

Sebaliknya persamaan differensial biasa yang tidak memenuhi kriteria tersebut di atas, disebut persamaan differensial tak linier.

Sebagian besar, persamaan differensial yang muncul dalam masalah-masalah terapan adalah linier dengan orde 1 atau orde 2. Untuk itu kami akan bahas secara khusus mengenai persamaan differensial orde 1 dan orde 2.

Contoh :

Tentukan apakah persamaan berikut termasuk persamaan differensial biasa atau parsial? Tentukan orde, pangkat dan keliniernya!

a.         xy’ + e^x = y

b.         (sinx)y” + 4x²-y= 0

c.         yy” + y² + 4xy = sinx

d.        (x² + 1) dx = (x-y+4)dy

Jawab :

a.         Persamaan differensial biasa, orde1, pangkat 1, dan linier

b.         Persamaan differensial biasa, orde2, pangkat 1, dan linier

c.         Persamaan differensial biasa, orde2, pangkat 2, dan linier

d.        Persamaan di atas dapat ditulis :

(x² + 1)  = (x-y+4) yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 3 dan tak linier

(x²+1) = (x-y+4)  yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 2 dan tak linier

D.      SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Perhatikan persamaan Differensial berikut :

F(x, y’ y”,…yⁿ) = 0adalah suatu fungsi ₁ dimana ’,’’,’’’,…,fⁿ ada,dan memenuhi persamaan F(’,’’,’’’,…,ⁿ)= untuk setiap x pada interval diatas

Kecuali ada pernyataan lain,kita anggap bahwa F pada persamaan (1,5) adalah fungsi bernilai riil dan y=(x) juga bernilai riil.

 Sebagai contoh ,fungsi ₁(x)=cos x dan ₂(x)=sin x adalah solusi persamaan y’’+y=0 untuk setiap x,karena jika ₁(x)dan/atau ₂(x) disubtitusikan dalam persamaan y’’+y= 0,akan diperoleh  kesamaan. Contoh lain yang agak rumit, ₁(x) = x²lnx adalah solusi persamaan x²y”-3xy’-4y = 0, x 0

Bukti

Φ₁(x)   = x²lnx

Φ₁’(x)  = x².+2xlnx

                    = x+2xlnx

Φ₁’’(x) = 1+2lnx+2x.                

             = 3+2lnx

Substitusikan pada persamaan diferensial diatas ,diperoleh:

X²(3+2lnx) - 3x(x+2xlnx) + 4(x²lnx) = 3x²-3x² + (2-6+4)x²lnx = 0

Terbukti bahwa ₁(x)=x²lnx merupakan solusi persamaan diferensial

X²y” - xy’ + 4y = 0 diatas.

Jadi,

Contoh1.3

Persamaan y=sinx+c, adalah persamaan diferensial y’=cosx, sebab jika disubstitusikan akan diperoleh kesamaan cosx=cosx

Contoh1.4

Persamaan y”=y mempunyai penyelesaian y =  atau y =  atau y =A+B

(buktikan dengan mensubstitusikannya!)

Jawab:

(i)                 y=

y’=

y”=

substitusikan pada persamaan y”=y    = (terbukti)

(ii)               y=

y’=-

y”=

substitusikan pada persamaan y”= y =(terbukti)

(iii)             y=+

y’=-

y”=+

substitusikan pada persamaan y” = y  +=+(terbukti)

Jika kita mengintegralkan y’= f(x) diperoleh:y =(x)dx + c yang mengandung satu tetapan integrasi ,yaitu c. jika kita mengintegralkan y” = g(x) dua kali untuk mendapatkan y, y mengandung dua tetapan integrasi . secara umum ,suatu persamaan diferensial orde n akan mempunyai penyelesaian yang mengandung n buah tetapan integrasi penyelasaian seperti ini dinamakan solusi umum dari persamaan diferensial linier tersebut. Hal yang sama untuk persamaan diferensial tak linier.solusi yang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta/tetapan yang sesuai .dinamakan solusi khusus .

jadi,

s

Dalam penerapannya, diinginkan solusi khusu yang sesuai dengan persamaan differensial tersebut yang memerlukan syarat-syarat tertentu. Perhatikan contoh berikut :

Contoh 1.5

Tentukan jarak benda jatuh karena gravitasi sebagai fungsi waktu t, jika benda mula-mula diam!

Jawab

Misalkan x adalah jarak benda jatuh sebagai fungsi waktu t, percepatan benda karena pengaruh gravitasi adalah g, sehingga di peroleh persamaan : = g, dengan mengentegralkan, di peroleh  = g.t + c =g.t + v_o, kemudian, kondisi yang di berikan solusi khusus dinamakan syarat batas, sedangkan kondisi yang di berikan pada t = 0 dinamakan syarat awal. Umumnya (tetapi tidak selalu untuk persamaan differensial tak linier), solusi khusus yang diinginkan diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai konstantanya.

E.     PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA ORDE SATU

1.     PERSAMAAN DEFERENSIAL LINIER

Jenis persamaan deferensial orde satu yang paling sederhana adalah  dengan fungsi  hanya bergantung pada x. ketika akan menentukan  yang turunannya merupakan fungsi  di atas. Dari teori kalkulus, diketahui bahwa  adalah anti turunan  di tulis

 

Dengan c adalah konstanta yang sesuai

Misalkan, jika

Maka

Secara umum persamaan differensial  linier orde 1 mempunyai bentuk umum :

g(x)............................................................................................ (1)

Dengan p dan g adalah fungsi continyu pada interval  pada bagian ini, kita akan memfokuskan pada metode penyelesaian persamaan (1)

Perhatikan persaman berikut :

Dengan  adalah konstanta riil persamaan ini dapat di selesaikan dengan metode inspeksi. Kita perlu suatu fungsi dengan turunannya yaitu  sama dengan kali  salah satu persamaan yang mempunyai sifat seperti itu adalah:

   ....................................................................................................... (2)

Dengan c adalah konstanta.

Bukti :

Substitusikan pada persamaan :  di peroleh :

Karena c suatu konstanta persamaan (2) memberikan tak hingga banyak solusi, pertanyaan yang mungkin muncul apakan ada bentuk solusi lain selain solusi pada persamaan (2) di atas? Pada bagian lain akan di buktikan bahwa tidak ada solusi lain selain persamaan (2)

Secara geometris persamaan (2) menyatakan suatu keluarga kurva. Untuk a=1, beberapa anggota keluarga kurva digambarkan pada gambar

            Akan lebih baik jika kita menentukan kurva yang melalui titik (x_0’ y₀) dalam hal ini, kita menentukan y =  sedemikian sehingga  atau y() keadaan ini di namakan syarat awal. Persamaan differensial orde 1 dengan syarat awal dinamakan  masalah nilai awal Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)

Sebagai contoh, perhatikan persamaan deferensial berikut : dengan syarat awal  yang mempunyai solusi seperti persamaan (2)

Solusi yang sesuai dengan syarat awal di atas di tentukan dengan mensubsitusikan  pada persamaan 2 di peroleh  sehingga sousi yang digunakan adalah

Ini merupakan solusi khusus dari mesalah nilai awal di atas. Sedangkan persamaan (2) merupakan solusi umum dari persamaan 

Sekarang, perhatikan persamaan diferensial berikut :

g(x)....................................................................................................... (3)

Jika  ruas kiri persamaan hanya mengandung turunan y. persamaan (3) tersebut  menjadi g(x), yang memiliki solusi .

Jika  ruas kiri persamaan mengandung turunan y dan y’

Persamaan di atas dapat di tulis dalam bentuk :

Dimana

Ingat bahwa

Sama dengan nol, atau

Jadi,

Jika persamaan (2,3) dikalikan dengan  di peroleh :

Intefralkan, di peroleh :

jadi, solusi persamaan (3) adalah :

Contoh

Tentukan solusi umum persamaan diferensial

Jawab :

Bandingkan persamaan diferensial diatas dengan bentuk umum persamaan diferensial

Kalikan persamaan diferensila dengan

Integralkan, di peroleh :

Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah  :

F.  PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1

            Persamaan differensial sangat menarik, kerena dengan menggunakannya, dapat menyelidiki berbagai masalah ilmu terapan misalnya dalam bidang fisika, biologi, social, ekonumi, tehnik dan ilmu terapan lainnya.

            Ada 3 langkah penting untuk mngindentifikasi dan menyelidiki masalah-masalah tersebut, yaitu :

1.      Menganalisis masalah kemudian membuat model matematikanya. Secara umum langkah ini dapat dilakukan dengan membuat asumsi (anggapan) tentang masalah yang muncul, berdasarkan pada fenomina yang terjadi. Sebagai contoh, diamante bahwa laju peluruhan zat radio aktif sebanding dengan banyaknya zat sisa, laju panas yang mengalirdari suatu benda bersuhu tinggi ke benda bersuhu rendah sebanding dengan perbedaan suhu kedua benda tersebut, laju benda bergerak sesuai dengan hokum Newton tentang gerak, laju pertumbuhan populasi serangga pada tempat tertutup sebanding dengan populasi yang ada, dan sebagainya. Semua fenomina diatas mengandung laju perubahan, yang apabila denyatakan dengan model matematika, akan membentuk persamaan differensial.
pada kehidupan nyata, model matematika yang merupakan pendekatan saja dari model/kejadian sebenarnya. Hal ini disebabkan karena pembuatan model berdasarkan pengamatan hasil pendekatan-pendekatan hasil. Sebagai contoh, benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya tidak cocok dengan hokum Newton, populasi serangga tidak berkembang dalam jangka waktu tak terbatas karena adanya keterbatasan persediaan makanan, aliaran panas dipengaruhi oleh factor lain selain perbedaan suhu, dan sebagainya.

2.      Menentukan solusi dari model matematika

3.      Menginterpretasikan kembali pada masalah semula

Pada bagian ini, akan dibahas contoh-contoh penerapan persamaan differensial orde 1.

Contoh  (penerapan pada bidang fisika)

            Laju peluruhan inti radio aktif sebanding dengan jumlah inti yang tersisa. Jika jumlah inti pada  adalah  tentukan jumlah inti setiap saat.

Jawab :

Persamaan diferensial yang sesuai untuk masalah di atas adalah :

Dengan pemisahan variable, di peroleh :

Integralkan kedua ruas, diperoleh : In

Karena pada  sehingga persamaan menjadi

Jadi penyelesaian yang diinginkan adalah

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

Persamaan differensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Didalam persamaan differensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan differensial linear dan Persamaan differensial linear orde satu.  Persamaan differensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan differensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.

Bentuk persamaan differensial linear

Bentuk persamaan differensial linear orde satu

Persamaan differensial sangat menarik dipelajari, karena persamaan differensial memegang peranan penting dalam berbagai macam ilmu. Oleh karena itu sangatlah penting bagi kita untuk memahami persamaan differensial, khususnya persamaan differensial linear orde satu.

B. Saran

Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial  baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai  persamaan differensial, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam persamaan differensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal – soal persamaan differensial biasa, karena dalam persamaan differensial sangat berkaitan dengan turunan dan integral.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1988. Calculus with Analytic Geometry. New York: John Willey and Sons.

Ayres, F. 1981. Theory and Problem of Differential Equation. Singapore: McGraw Hill International Book Company.

Bear Jr., H. S. 1962. Differential Equation. London: Addison Wesley Publishing Company Inc.

Depdikbud. 1999. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.

Finizio, N. dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Ed. ke-2. Terjemahan: Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.

Ince, E. L. 1959. Integration of Ordinary Differencial Equation. New York: Interscience Publishers Inc.

Kreyzig, E. 1993. Advanced Engineering Mathematics. Singapore: John Willey and Sons Inc.

Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Ed. ke-5. Terjemahan: Nababan, S.M. Jakarta: Erlangga.

Pamuntjak, R.J. dan Santosa, W. 1990. Persamaan Diferensial Biasa. Bandung: FMIPA ITB.

Purcell, E. J. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis Ed. ke-4. Terjemahan: I Njoman Susilo. Jakarta: Erlangga.

Ristono. 1991. Technological Progress of Paddy-Rice Production in Japanese Experience 1950-1988: Production Function Approach. Disertasi Doktoral. Tokyo: University of Agriculture and Technology.

Ristono. 1999. Sejarah Manfaat dan Masa Depan Ilmu Matematika Terapan. Pidato Pengukuhan Sebagai Guru Besar Madya dalam Ilmu Matematika Terapan. Samarinda: FKIP Universitas Mulawarman.

Ross, S.L. 1984. Differential Equations. Third Edition. Singapore: John Willey and Sons, Inc.

Siswanto. 1997. Eksistensi Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Linear dengan Argumen Simpangan. Tesis Pasca Sarjana. Yogyakarta: UGM.

.